Задача на сложные проценты

Нажми, чтобы узнать, что такое сложные проценты
Пусть с величины а за год (или за какой-либо другой промежуток времени) нарастает p%. Если доход в конце года не изымается, а доход за новый год исчисляется с наращенной суммы, то за t лет величина a превратиться в величину

b = a ( 1 + p/100 ) ^t

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 8000 рублей, он через два года был продан за 6480 рубля.
Каждый год, 31-го декабря, мы с друзьями снижаем цену на холодильник :) Выглядит это примерно так:

Рассмотрим эту ситуацию подробно.
Этап 1 - холодильник стоит 8000 р., 8000 - это 100%.
Этап 2 - цену на холодильник снизили на х%. Теперь он стоит разницу между первоначальной ценой и х% от первоначальной цены: 8000 - х% от 8000, теперь именно эта цифра становится 100%.
Этап 3 - цену на холодильник снизили ещё на х%. Теперь он стоит разницу между ценой на этапе 2 и х% от цены на этапе 2: (8000 - х% от 8000) - х% от (8000 - х% от 8000), ну а из условия нам известно, что кроме всего прочего это ещё и 6480 р.

Как же найти эти х% от 8000? Составим пропорцию:
8000 р. - 100%
у р. - х%

Из неё видно, что х% от 8000 рублей составляет у рублей. Выразив у, получим:
у = х*8000/100

Итак, на этапе 2: 8000 - 8000х/100 = |вынесем 8000 за скобки| = 8000 (1 - х/100)

А какой процент будет на этапе 3?
8000 (1 - х/100) - 100%
у - х%
=> у = (х*8000*(1-х/100))/100 = (х/100)*8000(1 - х/100)

Значит, в итоге, на этапе 3: 8000(1 - х/100) - (х/100)*8000(1 - х/100) = |вынесем за скобки множитель 8000(1 - х/100)| = 8000(1 - х/100)*(1 - х/100) = 8000(1 - х/100)² = 6480

На самом деле, можно не мучаться каждый раз с вычислением процентов - есть специальная формула: b = a ( 1 + p/100 ) ^t, где p - процент за промежуток времени (если со временем цена увеличивается, то он положительный, если уменьшается - то отрицательный, как в нашем случае), a - начальная цена, х - итоговая цена, t - количество лет (или дней, или часов - в зависимости от условия). Сравните то, что получилось у нас, с этой формулой:
6480 = 8000(1 - х/100)²
b = a ( 1 + p/100 ) ^t

Для решения задачи, выразим х из полученного уравнения:
6480/8000 = (1 - х/100)²
0.81 = (1 - х/100)²
1 - х/100 = корень из 0.81 = 0.9
0.1 = х/100
х = 100*0.1 = 10

Ответ: 10%

Задача на теорему Пифагора

Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 5 см.

Для того, чтобы решить эту задачу, необходимо нарисовать треугольник, причём непременно прямоугольный. Для удобства дальнейшего решения, я нарисую его лежащим на гипотенузе.

Теперь проведём высоту. Что это вообще такое? Это линия, опущенная из угла треугольника на противоположную сторону, и образующая с этой стороной прямой угол.

Откуда взялась цифра корень из 34 см? Найти гипотенузу треугольника с известными катетами очень легко по теореме Пифагора: (квадрат одного катета)+(квадрат второго катета)=(квадрат гипотенузы) = 9 + 25 = 34.
Гипотенуза = корень из квадрата гипотенузы = корень из 34 см.

После проведения высоты появилось два внутренних треугольника. В нашей задаче, собственно, обозначение буквами ни к чему, но для наглядности:

Итак, был треугольник ABC, в нём опустили высоту BD на гипотенузу AC. Получилось два внутренних прямоугольных треугольника: ADB и BDC. Мы не знаем, как высота поделила гипотенузу, поэтому обозначим меньшую неизвестную часть - AD - через х, а большую - DC - через разность AC и х, т.е. (корень из 34)-х см.

Обозначим искомую высоту через y. Теперь, по теореме Пифагора, из двух внутренних прямоугольных треугольником составим систему уравнений:
x^2 + y^2 = 9
((корень из 34)-х)^2 + y^2 = 25

Выразим у^2 из первого уравнения: y^2 = 9 - x^2
Подставим, предворительно упростив второе уравнение: ((корень из 34)-х)^2 + y^2 = 34 - 2*(корень из 34)*х + x^2 + y^2 = 34 - 2*(корень из 34)*х + x^2 + 9 - x^2 = 43 - 2*(корень из 34)*х = 25
2*(корень из 34)*х = 18
x = 9/(корень из 34)

Ура! Почти готово! Теперь опять же, по теореме Пифагора, из треугольника ABD:
(квадрат гипотенузы)-((найденный х) в квадрате) = квадрат искомой высоты
AB^2 - x^2 = 9 - 81/34 = 225/34 = h^2
h = 15/(корень из 34)

Задача на проценты

Каменщик и его ученик заработали 12168 р. Каменщик работал 12 дней,а его ученик только 50% этого времени.Сколько денег получил каждый, если дневной заработок каменщика на 45% больше заработка его ученика?

Выводы, которые нужно сделать по ходу чтения условия:
1) 12168 р = (заработок каменщика за все дни) + (заработок ученика за все дни)
2) Для решения нужно узнать, кто сколько дней работал
3) Придётся вводить неизвестное для заработка

Составим для удобства таблицу:

	Каменщик	Ученик
Дни	12	50% от 12
Заработок	х + 45% от х	x

Итак, пункт 3) исполнен - введена неизвестная х, соответствующая заработку ученика. Ну, а так как дневной заработок каменщика на 45% больше заработка его ученика, значит, это сам заработок ученика и ещё 45% от него, т.е. х+45% от х.

1) Вычислим количество рабочих дней
Для каменщика они и так известны - это 12. Для ученика - 50% от 12, т.е. половина, значит 6 дней.

	Каменщик	Ученик
Дни	12	6
Заработок	х + 45% от х	x

2) Кто там что заработал?
Ученик - х, а каменщик какое-то странное число - х + 45% от х.
х - 100%
45% от х - 45%
искомое число (45% от х) - это 45*х/100 = 0.45*х. А, значит, заработок каменщика = х+0.45*х = 1.45*х

	Каменщик	Ученик
Дни	12	6
Заработок	1.45х	x

3) Составляем уравнение
Умножаем рабочие дни на зарплату за день и складываем, благо, общая сумма нам известна, а в уравнении только одно неизвестное:
(Рабочие дни каменщика)*(зарплата каменщика за день) + (Рабочие дни ученика)*(зарплата ученика за день) = 12*1.45*х + 6*х = 23.4*х = 12168
Отсюда х = 12168/23.4 = 520

Ура! Самое главное нашли!
Значит, зарплата ученика - 520 рублей в день...

4) Вычисление ответа
Зарплата каменщика за день = 1.45 * х = 1.45 * 520 = 754

	Каменщик	Ученик
Дни	12	6
Заработок	754	520

Всего каменщик заработал = (рабочие дни) * (зарплата за день) = 12 * 754 = 9048 руб
Всего ученик заработал = (рабочие дни) * (зарплата за день) = 6 * 520 = 3120 руб